Makalah Persegi



Makalah Pengertian Persegi panjang? Rumus persegi panjang? Rumus keliling persegi panjang? Sifat persegi panjang? Rumus luas persegi panjang? Makalah Pengertian Rumus luas persegi? 1 hektar berapa meter? Rumus luas persegi? Rumus keliling persegi? Luas persegi? Keliling persegi? Sifat sifat persegi? Rumus keliling segitiga? Keliling segitiga? Meter persegi? Rumus persegi? Makalah Pengertian rumus keliling belah ketupat? Rumus keliling trapesium? Luas layang- layang?

 

DIMENSI DUA
1.     Persegi
Persegi memiliki 4 buah sisi yangg sama panjang. Pada persegi panjang sisinya ada yangg disebut panjang dan ada yangg disebut lebar. Namun berbeda pada persegi, semua sisi persegi disebut sisi.
Persegi memiliki beberapa sifat, diantaranya:
a.     Semua sisinya sama panjang dan sisi-sisi yangg berhadapan sejajar
b.     Setiap sudutnya siku-siku
c.     Mempunyai dua buah diagonal sama panjang yangg berpotongan di tengah-tengah membentuk sudut siku-siku
d.     Setiap sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya
e.     Memiliki 4 sumbu simetri
https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQK19zDixG2x8WhFI45mK8vN8kRBMRs6FxF_3H8VgD0ugxTpTH7
http://3.bp.blogspot.com/-7Itf5LH6iAo/T-4GzDY8ZZI/AAAAAAAAAD8/iBGI_WCvIw8/s200/Picture1.jpg     


     

Untukk membuktikan rumus luas persegi maka kita bisa memperhatikan gambar persegi yangg sebelah kanan, dimana terdapatt persegi-persegi kecil di dalaam sebuah persegi yangg lebih besar. kita anggap persegi-persegi kecil tersebut merupakan satuan darii persegi besar. Dengan menganggap bahwa satu persegi kecil merupakan satu satuan, maka dapatt dikatakan bahwa persegi diatas memiliki luas sebanyak jumlah semua persegi kecil atau 100 satuan persegi kecil.

Luas Persegi = Hasil kali jumlah satuan darii kedua sisi yangg saling tegak lurus
= 10 x 10 = 100 satuan
Atau dapatt ditulis secara umum


Luas persegi     = sisi x sisi
Keliling = 4s
 
 




2.     Persegi Panjang
Persegi panjang memiliki beberapa sifat, diantaranya sebagai berikut:
a.     Sisi-sisi yangg berhadapan sama panjang dan sejajar
b.     Setiap sudutnya siku-siku
c.     Mempunyai dua buah diagonal sama panjang dan saling berpotongan di titik pusat persegi panjang
d.     Mempunyai 2 sumbu simetri
 
Persegi_panjangUntukk mengetahui rumus suatu persegi panjang, perhatikan gambar dan penjelasan berikut ini



Postulat:
Daerah yangg dilengkapi oleh persegi, dimana setiap sisinya memiliki panjang a, maka persegi ini memiliki luasan yangg sama dengan a pangkat 2.
Kemudian darii postulat diatas menghasilkan sebuah teorema untukk Luas Persegi Panjang, yaitu : Teorema → Luas suatu persegi panjang yangg panjang sisinya a dan b ialah a.b. Bukti :Misal kita konstruksikan Persegi Panjang darii suatu persegi seperti pada gambar dibawah ini.
http://i1172.photobucket.com/albums/r578/aimprof08/Trapesium1-1.jpg






Darii gambar diatas dan menurut Postulat, maka :
(a + b)^2                          = Luas R1 + Luas R2 + Luas R3 + Luas R4
a^2 + 2ab + b^2             = a^2 + Luas R2 + Luas R3 + b^2
karena Luas R2 = Luas R3, berakibat :
a^2 + 2ab + b^2             = a^2 + 2 Luas R2 + b^2
2a.b                                  = 2 Luas R2
a.b                                    = Luas R2 → Luas Persegi Panjang (TERBUKTI)

3.     Segitiga
Sifat segitiga secara umum diantaranya:
a.     Jumlah panjang 2 sisi selalu lebih besar darii panjang sisi ketiga
b.     Sudut dan panjang sisi segitiga berbanding lurus. Sudut tepanjang dan sudut terkecil menghadap sisi terpendek
c.     Besar sudut luar segitiga sama dengan jumlah sudut dalaam yangg bukan pelurusnya.
Beberapa jenis segitiga, diantaranya:
a.     Berdasarkan besar sudut
1)    Segitiga sama kaki
a)    Mempunyai dua sisi yangg sama panjang yakni kaki segitiga
b)    Mempunyai dua sudut yangg sama besar, yaitu sudut yangg berhadapan dengan sisi yangg panjangnya sama.
c)     Mempunyai satu sumbu simetri

2)       Segitiga sama sisi
a)    Mempunyai tiga sisi yangg sama panjang
b)    Mempunyai tiga sudut yangg sama besar
c)     Mempunyai tiga sumbu simetri
            
3)       Segitiga sembarang
a)       Tidak mempunyai sisi yangg sama pajang.
b)       Tidak mempunyai sudut yangg sama besar
c)        Tidak mempunyai sumbu simetri.




b.     Berdasarkan panjang sisi
1)       Segitiga lancip                                2) Segitiga siku-siku                           3) Segitiga tumpul




Garis-garis dalaam segitiga, diantaranya:
a.     Garis tinggi ialah garis yangg ditarik darii titik sudut segitiga dan tegak lurus terhadap sisi dihadapannya.
b.     Garis bagi ialah garis yangg ditarik darii titik sudut segitiga dan membagi sudut tersbut menjasi dua bagian yangg sama besar.


c.     Garis berat ialah garis yangg ditarik darii titik sudut suatu segitiga dan membagi  sisi dihadapannya menjadi dua bagian yangg sama panjang.


d.     Garis sumbu ialah garis yangg ditarik darii pertengahan sisi segitiga dan tegak lurus dengan sisi itu.


Luas segitiga = 1/2 x (alas x tinggi)
 
segitigaSegitiga ialah persegi panjang yangg dibagi dua. Oleh karena itu rumus segitiga sama saja dengan rumus persegi panjang yangg dibagi dua. Yangg perlu kita ketahui ialah panjang pada persegi panjang merupakan alas pada segitiga sedangkan lebar pada persegi panjang merupakan tinggi pada segitiga. Jadi, dapatt disimpulkan bahwa:

Berikut  beberapa pembuktian rumus luas segitiga
pembuktian rumus L = 1/2 (alas x tinggi)terdiri darii beberapa kasus, yaitu :
a)    Kasus 1 Untukk Segitiga Siku-Siku
http://i1172.photobucket.com/albums/r578/aimprof08/segitiga1.jpg


Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2
a.b                 = 2 Luas R1 (karena Luas R1 = Luas R2)
1/2 (a.b )         = Luas R1 dengan a = alas dan b = tinggi
Luas segitiga = 1/2 x (alas x tinggi)
 
sehingga

b)    Kasus 2 Untukk Segitiga Sama Kaki
http://i1172.photobucket.com/albums/r578/aimprof08/th_segitiga2.jpg


Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2 + Luas R3 + Luas R4
2.a.t                    = 4 Luas R2 (karena Luas R1 = Luas R2 = Luas = Luas R4)
2/4 (a.t)              = Luas R1 = L
1/2 (a.t)              = Luas R1 = L dengan a := alas dan t := tinggi
Luas segitiga = 1/2 x (alas x tinggi)
 
sehingga


c)     Kasus 3 Untukk Segitiga Sembarang
http://i1172.photobucket.com/albums/r578/aimprof08/segitiga3.jpg




Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2
Luas R1 + Luas R2 = b.t
karena Luas R1 = Luas R2, berakibat
Luas R1 = 1/2(b.t)
1/2 ((a + b).t) = 1/2(b.t) + Luas 1/2(a.t) +1/2(b.t) –1/2(b.t) = Luas 1/2(a.t)
L =1/2( alas x tinggi)

d)    61Pembuktian Rumus L = √(s (s-a )(s-b)(s-c))
sin2 A + cos2 A = 1
sin2 A = 1 – cosA
sin2 A = (1 + cos A) (1 – cos A )
ingat aturan cosinus:









Ingat bahwa s = ½ (a + b + c), maka
·       (a + b + c) = 2s
·       (b + c + a) = (a + b + c) – 2a = 2s – 2a = 2 (s – a )
·       (a + b – c) = (a + b + c) – 2c = 2s – 2c = 2 (s –c )
·       (a + c – b) = (a + c + b) – 2b = 2s – 2b = 2 (s –b )
Sehingga,Ingat bahwa luas segitiga ialah:
60
e)     Pembuktian rumus L = ½ bc. sin A / ½ ac. sin B / ½ ab. sin C 
L = 1/2 (c.t)karena t belum diketahui maka dapatt dicari dengan
t/b = sin A
t = b sin A
sehingga L = 1/2 (c.t) = 1/2(c. b sin A) = 1/2 (bc sin A)

4.     Jajar Genjang
Jajar genjang memiliki sifat sebagai berikut:
a.     Sisi-sisinya yangg berhadapan sama panjang dan sejajar
b.     Sudut-sudut yangg berhadapan sama besar
c.     Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang
d.     Jumlah sudut-sudut yangg berdekatan ialah 180o

jajarApabila bagian jajar genjang ada yangg dipindahkan maka akan membentuk persegi panjang. Jajar genjang mempunyai alas dan tinggi. Panjang pada persegi panjang merupakan alas pada jajar genjang sedangkan lebar pada persegi panjang merupakan tinggi pada jajar genjang. Sehingga
Luas jajar genjang = alas x tinggi

https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTGOrdUAvXRQgOQlT1-9sm0Ht9KdqdzADo-8NgBAQuKJsVvRDwckAGambar diatas merupakan sebuah jajar genjang dengan alas = a dan tinggi = t,

(CARA 1) Rumus untukk mencari Luas jajar genjang = alas x tinggi = at. Untukk membuktikan rumus tersebut maka caranya ialah sebagai berikut.

http://2.bp.blogspot.com/-KZoCMEe9Y0s/UrvQT953QiI/AAAAAAAAAB4/PRGxg7q4MbM/s320/aa.jpg


http://2.bp.blogspot.com/-uHFw5Xwl-NQ/UrvRWrjAUgI/AAAAAAAAACE/Jntz-yUlzho/s320/aaa.jpgGambar diatas ialah jajar genjang yangg di bagi menjadi 3 bagian dengan masing masing bagian mempunyai luas L1, L2 dan L3. Dalaam hal ini kita akan mengubah bentuk diatas dengan memindahkan bagian yangg mempunyai luas L3 agar sisi miring bidang L3 berimpit dengan sisi miring bidang L1. Untukk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.


   


Gambar diatas merupakan hasil perpindahan bidang L3 dan berbentuk persegi panjang. karena rumus untukk mencari luas persegi panjang ialah L = panjang x lebar maka rumus luas persegi panjang diatas ialah L= alas x tinggi. karena persegi panjang di atas merupakan hasil perubahan bentuk jajar genjang, maka dapatt disimpulkan bahwa
luas jajar genjang L= alas x tinggi = at.
(CARA 2) 
http://4.bp.blogspot.com/-AEvj0eBwG0c/UrvYrJwbuNI/AAAAAAAAACc/OxYmpSoiJDg/s320/20131226-0009.jpegPerhatikan gambar jajar genjang di atas. Pada gambar tersebut terdapatt tiga buah bidang yaitu, BODP, AOD dan BPC.
untukk menurunkan rumus Luas Jajagenjang ialah dengan memanfaatkan rumus luas persegi panjang dan rumus luas segitiga, yaitu :

Luas Jajagenjang = Luas persegi panjang BODP + Luas ΔAOD + Luas ΔBPC = ((a-b) x t) + ½ (b x t ) + ½ (b x t )
 = (at – bt )+ bt
 = at – bt + bt
 = at

5.     Belah Ketupat  
Sifat belah ketupaat, diantaranya:
a.     Semua sisinya sama panjang
b.     Sisi-sisi yangg berhadapan sejajar
c.     Sudut yangg berhadapan sama besar
d.     BelahKetupatDiagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang dan saling tegak lurus
segitiga2


Jika dilihat darii gambar tersebut, bagian-bagian darii belah ketupat bisa dibuat menjadi bentuk persegi panjang. Pada belah ketupat terdapatt dua buah diagonal.Diagonal merupakan garis yangg menghubungkan dua simpul berurutan darii poligon atau polyhedron.
Jika dilihat darii gambar di atas, panjang dan lebar pada persegi panjang merupakan diagonal belah ketupat. Kedua diagonal belah ketupat sering dituliskan d1 dan d2


Luas belah ketupat = 1/2 x (d1 xd2)

 
 


6.     Layangg-layangg
Sifat laying-layangg diantaranya:
a.     Mempunyai dua pasang sisi yangg sama panjang
b.     Diagonal-diagonalnya berpotongan dan saling tegak lurus
c.     Diagonal terpanjangnya merupakan sumbu simetri
d.     Sepasang sudut yangg berhadapan sama besar
Prinsip layangg-layangg sama seperti belah ketupat. Dan rumus untukk mencari luasnya pun sama. Yangg membedakan hanyalah panjang sisi. Belah ketupat memiliki 4 sisi yangg sama panjang sedangkan layangg-layangg memiliki 2 pasang sisi yangg sama panjang.
http://1.bp.blogspot.com/-skIPG0PKWFQ/UsknBpFwuRI/AAAAAAAAADU/Y0E7EHDnnOk/s320/ac.jpgLuasLayangg-Layangg = Luas S1 + Luas S2 + Luas S3 + Luas S4karena Luas S1 = Luas S2 dan Luas S3 = Luas S4 yangg merupakan Luas Segitiga, maka
LuasLayangg-Layangg = 1/2.a.b1 + 1/2.a.b1 + 1/2.a.b2 + 1/2.a.b2
                        = 1/2 x (a.b1 + a.b1 + a.b2 + a.b2)
                        = 1/2 x (2.a.b1 + 2.a.b2)
                        = 1/2 x [2.a(b1 + b2)]
                        = 1/2 x (a + a) x (b1 + b2)
Luas Layangg-Layangg = 1/2 x diagonal 1 x diagonal 2
 
perhatikan bahwa diagonal 1 = (a + a) dan diagonal 2 := (b1 + b2)
maka



7.     Trapesium
Sifat trapesium, diantaranya:
a)    Memiliki sepasang sisi yangg sejajar
b)    Jumlah sudut yangg berdekatan diantara dua sisi sejajar ialah 180o

a.     Trapesium Pertama
http://1.bp.blogspot.com/-Pky3goQZKYs/UsEyTD26hRI/AAAAAAAAACs/Wk8Ig6h4fd4/s320/a1.jpgPada trapesium yangg pertama ini, terdapatt sebuah persegi panjang dan diapit oleh 2 segitiga yangg sama besar. berikut pembuktiannya :

 = (a x t) + (1/2 x b x t)
 = (1/2 x 2a x t) + (1/2 x b x t) + (1/2 x b x t)
 = 1/2 x t x (2a + b + b)
perhatikan bahwa (2a + c + c) ialah jumlah sisi yangg sejajar, berakibat
LTrapesium = 1/2 x tinggi x jumlah sisi yangg sejajar.

b.     Trapesium Kedua
http://2.bp.blogspot.com/-B-jje1p9ZJI/UsE0cl6aZ7I/AAAAAAAAAC4/7K-HXdC5V3A/s320/a2.jpgDi trapesium kedua ini persegi panjang diapit oleh dua segitiga yangg tidak sama besar. Berikut pembuktiannya :



= (a x t) + (1/2 x b x t) + (1/2 x c x t)
= (1/2 x 2a x t) + (1/2 x b x t) + (1/2 x c x t)
= 1/2 x t x (2a + b + c)
Perhatikan bahwa (2a + b + c) ialah jumlah sisi yangg sejajar, berakibat
LTrapesium = 1/2 x tinggi x jumlah sisi yangg sejajar

c.      Trapesium Ketiga
http://2.bp.blogspot.com/-IHFIAhar-9Q/UsE11dFd7pI/AAAAAAAAADE/bRiRPIAx-gQ/s320/a3.jpg
LTrapesium = Luas Persegi Panjang + Luas Segitiga
= (a x t) + (1/2 x b x t)
= (1/2 x 2a x t) + (1/2 x b x t)
= 1/2 x t x (2a + b)
karena (2a + b) ialah jumlah sisi yangg sejajar, berakibat
 LTrapesium = 1/2 x tinggi x jumlah sisi yangg sejajar


Jadi, Rumus Luas Trapesium = 1/2 x tinggi x jumlah sisi yangg sejajar
 
 



Visitor