Makalah Persamaan Linear satu dan dua Variabel



Makalah pengertian persamaan linear? Contoh soal persamaan linear? Sistem persamaan linear? Sistem persamaan linear dua variabel? Contoh soal persamaan linear dua variabel? Persamaan linear satu variabel? Contoh soal Persamaan linear satu variabel? Persamaan linear dua variabel? Himpunan penyelesaian? contoh soal persamaan linear dua variabel?



SISTEM PERSAMAAN LINEAR SATU DAN DUA VARIABEL


A.       Sistem Persamaan Linear Satu Variabel (SPLST)

System persamaan linear  satu variable adalah persamaan linear yang menggunakan satu variable berpangkat satu.
Bentuk umum : ax + b = 0 dengan a ≠ 0, a dan b € R
Catatan :  x adalah variable
A adalah koefisien x
B adalah konstansta
Contoh :
5x + 7 = 17           => variable yang digunakan adalah variable x.
12y + 3 = 15         => variable yang digunakan adalah variable y.
6r = 2 + 4              => variable yang digunakan adalah variable r.

a.        Kalimat matematika dari pernyataan yang berkaitan dengan PLSV

Contoh : tentukan kalimat matematika dari pernyataan berikut.
1.       Harga tiga buah buku Rp. 7500
2.       Lima kurangnya dari x adalah 8
3.       Tiga lebihnya dari b adalah 7


Jawab :
1.       Misal buku = b, maka kalimat matematikanya 3b = 7500
2.       X – 5 = 8
3.       B + 3 = 7


b.       Menentukan bentk setara dari PLSV.

Untuk menentukan bentuk setara dari PLDV dapat dilakukan dengan cara :
1.       Kedua ruas PLSV ditambah atau dikurangi dengan sembarang bilangan yang sama.
2.       Kedua ruas PLSV dikali/dibagi dengan sembarang bilangan yang sama.


Contoh : tentukan persamaan yang setara dengan 2x + 4 = 8


Jawab :
1.       Kedua ruas ditambah/dikurangi sembarang bilangan yang sama.
“Ditambah 2”                                                                    “Dikurangi 4”
2x + 4 = 8                                                                                           2x + 4 = 8
2x + 4 + 2 = 8 + 2                                                                              2x + 4 - 4 = 8 - 4
2x + 6 = 10                                                                                         2x = 4
Jadi, 2x + 4 = 8 setara dengan 2x + 6 = 10 dan 2x = 4.
2.       Kedua ruas dikali/dibagi dengan sembarang bilangan yang sama.
“Dikali 3”                                                                           “Dibagi 2”
2x + 4 = 8                                                                           2x + 4 = 8
(2x + 4) 3 = 8 x 3                                                               (2x + 4) : 2 = 8 : 2
6x + 12 = 24                                                                      x + 2 = 4
Jadi, 2x + 4 = 8 setara dengan 6x + 12 = 24 dan x + 2 = 4.

c.        Akar penyelesaian PLSV.

Akar penyelesaian PLSV adalah bilangan pengganti variable dari PLSV itu, sehingga diperoleh kalimat yang benar.
Untuk mencari penyelesaian dari PLSV dapat dilakukan dengan cara mencari bentuk setara yang paling sederhana (sampai diperoleh nilai1 variabel).


Contoh : carilah penyelesaian dari 4y + 5 = y – 13


Jawab : 4y + 5 = y – 13
4y + 5 – 5 = y – 13 – 5                            (dikurangi 5)
4y = y – 18
4y – y = y – 18 - y                    (dikurangi y)
3y = -18
Y = -6

d.       Himpunan penyelesaian PLSV.

Contoh :
a.       8 + 4p = 16
8 + 4p = 16
4p = 16 – 8          (pindahkan ruas yang variablenya sama)
4p = 8
P = 8/4                  (bagi ruas kanan dengan konstanta p)
P = 2
Jadi , nilai p = 3 dan himpunan penyelesaian, Hp = {2},

b.       5x + 3 = 3x + 5
5x + 3 = 3x + 5
5x – 3x = 5 – 3            (pindahkan ruas yang variablenya sama)
2x = 2
X = 2/2                 (bagi ruas kanan dengan konstanta x)
X = 1
 Jadi , nilai x = 1 dan himpunan penyelesaian, Hp = {1},

c.        8r – 3 = 21
8r – 3 = 21
       8r = 21 + 3             (pindahkan ruas yang variablenya sama)
       8r = 24
         r = 24/8                  (bagi ruas kanan dengan konstanta r)
         r = 3
Jadi , nilai r = 3 dan himpunan penyelesaian, Hp = {3},


B.       Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

a.     Bentuk-bentuk sistem persamaan linear dua variabel

a)       Perbedaan PLDV dan SPLDV
1.          Persamaan linear dua variabel (PLDV)
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang memiliki dua variabel dan pangkat masing-masing variabelnya satu. Jika dua variabel tersebut x dan y, maka PLDV-nya dapat dituliskan :
ax + by = c                        dengan a, b ≠ 0
Contoh : 1). 2x + 2y = 3
2). y = 3x -2
3). 6y + 4 = 4x
2.       Sistem persamaan linear dua variabel (SLDV)
SPLDV adalah suatu system persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear (PLDV) dan setiap persamaan mempunyai dua variabel. Bentuk umum SPLDV adalah: 
ax + by = c 
px + qy = r ;  à  a, b, p, q ≠ 0
Contoh :
1). 3x + 2y = 7 dan x = 3y + 4
2).
3). x – y = 3 dan x + y = -5 atau dapat ditulis

b)       Menyatakan suatu variabel dengan variabel lain pada persamaan linear

 

Contoh : Diketahui persamaan x + y = 5, jika variabel x dinyatakan dealam variabel y menjadi :
x + y = 5
Û x = 5 – y

c)       Mengenal variabel dan koefisien pada SPLDV


Contoh : Diketahui SPLDV : 2x + 4y = 12 dan 3x – y = 5
Ø  Variabel SPLDV adalah  x dan y
Ø  Konstanta SPLDV adalah 12 dan 5
Ø  Koefisien x dari SPLDV adalah 2 dan 3
Ø  Koefisien y dari SPLDV adalah 4 dan -1

d)       Akar dan Bukan akar SPLDV
Dalam sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) terdapat pengganti-pengganti dari variabel sehingga kedua persamaan menjadi benar. Pengganti-pengganti variabel yang demikian disebut penyelesaian atau akar dari sistem persamaan linear dua variabel. Apabila pasangan pengganti menyebabkan salah satu atau kedua persamaan menjadi kalimat tidak benar disebut bukan penyelesaian  atau bukan akar dari SPLDV tersebut.


Contoh : Diketahui SPLDV : 2x – y = 3 dan x + y = 3. Tunjukkan bahwa x = 2 dan y = 1 merupakan akar dari SPLDV tersebut .


Jawab :
Ø  2x – y = 3
Jika x = 2 dan y = 1 disubstitusikan pada persamaan diperoleh
2x  - y = 3
Û 2(2) – 1 = 3
Û 3 = 3 (benar)
Ø  x + y = 3
jika x = 2 dan y = 1 disubstitusikan pada persamaan diperoleh
x + y = 3
Û 2 + 1 = 3
Û 3 = 3 (benar)
Jadi, x = 2 dan y = 1 merupakan akar dari SPLDV 2x – y = 3 dan x + y = 3

b.     Penyelesaian SPLDV

Untuk menentukan penyelesaian atau kar dari SPLDV dapat ditentukan dengan 3 cara, yaitu metode grafik, metode substitusi, metode eliminasi.

1.    Metode grafik
Prinsip dari metode grafik yaitu mencari koordinat titik potong grafik dari kedua persamaan. Dari contoh diatas apabila dikerjakan dengan metode grafik sebagai berikut.
  x + y = 4                                                              x – 2y = - 2
X
0
4
Y
4
0
(x,y)
(0,4)
(4,0)
x
0
-2
y
1
0
  (x,y)
(0,1)
(-2,0)



                                                        
                                                                                 

          















Gambar 1.1
Grafik perpotongan x + y = 4 dan x – 2y = -2
 
 


Dari grafik terlihat kedua grafik berpotongan di (2,2). Koordinat titik potong (2,2) merupakan penyelesaiannya. Jadi, penyelesaiannya x = 2 dan y = 2

2.       Metode substitusi
Hal ini dilakukan dengan cara memasukkan atau mengganti salah satu variabel dengan variabel dari persamaan kedua.

Contoh : Tentukan penyelesaian dari SPLDV : x + y = 4 dan x – 2y = -2 dengan metode substitusi!

Jawab :
Ø  x + y = 4 Þ x = 4 – y
Ø  x = 4 – y disubstitusikan pada x – 2y = - 2 akan diperoleh :
x – 2y = -  2
Û (4 – y )2y = - 2
Û 43y = - 2
Û -3y = -6
Û y = = 2
Ø  selanjutnya untuk y =2 disubstitusikan pada salah satu persamaan, misalnya ke persamaan x + y = 4, maka diperoleh :
x + y = 4
Û x + 2 = 4
Û x = 4 – 2 = 2
Jadi, penyelesaianya adalah x = 2 dan y = 2

3.       Metode eliminasi
Caranya sebagai berikut :
a.       Menyamakan salah satu koefisien dan pasangan suku dua persamaan bilangan yang sesuai.
b.       Jika tanda pasanganan suku sama, kedua persamaan di kurangkan.
c.        Jika tanda pasangan suku berbeda, kedua suku persamaan ditambahkan

Contoh : Tentukan penyelesaian dari SPLDV : x + y = 4 dan x – 2y = -2 dengan metode eliminasi!
Jawab :
Ø  Mengeliminir peubah x
x + y  = 4
x – 2y = - 2
      3y = 6
        y = 2
Ø  Mengeliminir peubah y
x + y  = 4                2    2x + 2y = 8
x – 2y = - 2            •1     x – 2y  = -2
                                                3x            = 6
                                                   x           = 2
Jadi, penyelesaianya adalah x = 2 dan y = 2


c.      Model matematika dari pernyataan yang berkaitan denganSPLDV.

SPLDV digunakan untuk membantu menyelesaikan masalah sehari-hari. Untuk itu perlu dibuatkan terlebih dahulu model matematikanya. Model matematika adalah persamaan matematika yang merupakan terjemahan dari masalah sehari-hari.
Contoh : Alma ingin membeli buku tulis dan pensil. Harga sebuah pensil dan sebuah buku tulis  Rp. 5.000. Sedangkan harga tiga pensil dan dua buah buku tulis Rp. 11.000. jika alma ingin membeli empat buah pensil dan lima buah buku tulis, berapakah uang yang harus alma keluarkan?

Penyelesaian :

a.       Membuat model matematika.
Misal : pulpen = x, dan buku tulis = y
Maka :
Diketahui :  x + y = 5000  ….... pers. (1)
          3x + 2y = 11000 …. Pers (2)
Ditanyakan : 4x + 5y = …..?

b.       Menyelesaikan SPLDV.
x + y = 5000   (2) à 2x + 2y = 10000
3x + 2y = 11000            (1) à 3x + 2y = 11000 –
-x               = -1000
X                = 1000
Subtitusikan x = 1000 ke salah satu persamaan diatas. Misal ke persamaan (1)
  x + y = 5000
1000 + y = 5000
Y = 5000 – 10000
Y = 4000
Maka diperoleh nilai x = 1000 dan nilai y = 4000

c.        Mengembalikan himpunan penyelesaian SPLDV ke masalah awal.
Ditanyakan : 4x + 5y = …? Dengan nilai x = 1000 dan nilai y = 4000
Maka subtitusikan nilai x = 1000 dan nilai y = 4000
4x + 5y = …
4 (1000) + 5 (4000) = …
4000 + 20000 = 24.000
Jadi, untuk membeli empat buah pensil dan lima buah buku tulis, alma harus mengeluarkan uang sebesar  Rp. 24.000.



Visitor