Makalah Bilangan Bulat



Makalah Pengertian Bilangan Bulat? Arti Bilangan? Bilangan cacah? Bilangan asli? Operasi hitung bilangan bulat? Bilangan real? Garis bilangan? Bilangan komposisi? Matematika bilangan Bulat? Bilangan bulat positif? Bilangan bulat negatif? Penjumlahan bilangan bulat? Pengurangan bilangan bulat? Pengertian Pembagian bilangan bulat? Perkalian bilangan bulat? Contoh soal bilangan bulat?



BILANGAN BULAT

a.     Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat ialah bilangan bukan pecahan yangg terdiri darii bilangan :
·       Bulat positif
·       Nol :
·       Bulat Negatif
Himpunan Bilangan bulat
A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Garis bilangan bulat :


 


 
     Bilangan bulat negatif                                      Bilangan bulat positif
                                                  Bilangan nol
Di dalaam bilangan bulat terdapatt bilangan genap dan ganjil :
·       Bilangan bulat genap
Bilangan yangg habis dibagi dengaan
·       Bilangan bulat ganjil
Bilangan yangg apabila dibagi  tersisa  atau

b.    Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat
·       Penjumlahan dan Sifat-sifatnya
1.     Sifat Asosiatif
Contoh :
2.     Sifat Komutatif
Contoh :
3.     Unsur Identitas terhadap penjumlahan
Bilangan Nol  disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan
Contoh :
4.     Unsur invers terhadap penjumlahan
Invers jumlah (lawan) darii  ialah
Invers jumlah (lawan) darii  ialah
contoh :
5.     Bersifat tertutup
Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya ialah bilangan bulat juga.
 dan  bilangan bulat maka  bilangan bulat
contoh :
 bilangan bulat

·       Pengurangan dan Sifat-sifatnya
1.     Untukk sembarang bilangan bulat berlaku :
contoh:
2.     Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
Contoh :
3.     Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
4.     Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya ialah bilangan bulat juga:
 dan  bilangan bulat maka  bilangan bulat
contoh :
 bilangan bulat

·       Perkalian dan Sifat-sifatnya
1.      hasil perkalian dua bilangan bulat positif ialah bilangan bulat positif
Contoh:
 hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya ialah
                                bilangan bulat negatif
Contoh :
 hasil perkalian dua bilangan negatif ialah bilangan bulat              
                                  positif
Contoh :
2.     Sifat Asosiatif
Contoh:
3.     Sifat komutatif
Contoh :
4.     Sifat distributif
Contoh :
5.     Unsur identitas untukk perkalian
- hasil perkalian bilangan bulat dengaan nol hasilnya ialah bilangan nol
- hasil perkalian bilangan bulat dengaan 1 hasilnya ialah bilangan bulat itu juga
6.     Bersifat tertutup
Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya ialah bilangan bulat juga
 bilangan bulat

·       Pembagian dan Sifat-sifatnya
1.     Hasil bagi dua bilangan bulat positif ialah bilangan positif
Contoh :
2.     Hasil bagi dua bilangan bulat negatif ialah bilangan positif
Contoh :
3.     Hasil bagi dua bilangan bulat yangg berbeda ialah bilangan negatif
Contoh :
              
4.     Hasil bagi bilangan bulat dengaan  ialah tidak terdefinisi
Contoh : 
5.     Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
Contoh :
6.     Bersifat tidak tertutup
Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga
Contoh :  bilangan bulat
bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)


·       Pemangkatan bilangan bulat

            Sejumlah  faktor
Contoh :
              

·       Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga bilangan bulat
1.    Akar kuadrat (akar pangkat dua)
Contoh :      
                     
  
Tabel :
2.    Akar kubik (akar pangkat tiga)
Contoh :      
Tabel :


BILANGAN PECAHAN

1.    Pengertian Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan ialah bilangan yangg disajikan/ditampilkan dalaam bentuk ;
 
 disebut pembilang dan  disebut penyebut
contoh:
Dua buah mangga dibagikan seorang ibu kepada 3 orang anaknya. Berapa bagian yangg didapattkan oleh setiap anaknya ?
jawab:
masing-masing anaknya memperoleh  bagian.

2.    Bentuk dan Jenis Pecahan
a.     Pecahan biasa
Contoh: 
b.     Pecahan campuran
Contoh:
c.     Pecahan desimal
Contoh:
d.     Persen (perseratus)
Contoh:
e.     Permil (perseribu)
Contoh:

3.    Pecahan Senilai
Apabila pembilang dan penyebut dikali atau dibagi dengaan bilangan yangg sama
Contoh:

4.    Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Lain
a.     Merubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran
(dapatt dilakukan apabila pembilang lebih besar darii penyebut)
b.     Merubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa
c.     Merubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal
 

penyebutnya dijadikan  
pembilangnya juga dikalikan
d.     Merubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa
 

cari FPB darii 5 dan 10 didapattkan 5
e.     Merubah pecahan desimal menjadi pecahan campuran
 

cari FPB darii 45 dan 100 didapattkan 5
f.      Merubah pecahan biasa ke dalaam bentuk persen dan permil



g.     Merubah persen dan permil ke dalaam bentuk pecahan biasa
 

1)    20 ialah FPB darii 20 dan 100
2)    Kalau pembilang bisa dibagi oleh penyebut atau sebaliknya gunakan angka tersebut (contoh di atas)
 

1)    10 ialah FPB darii 30 dan 100
2)    2 contoh di atas pembilang tidak bisa dibagi oleh penyebut.

5.    Menyederhanakan Pecahan
Bentuk pecahan dapatt disederhanakan dengaan cara membagi pembilang dan penyebut dengaan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).

6.    Membandingkan Dua Pecahan
Hubungan antara dua pecahan dapatt ditentukan dengaan menyamakan penyebut darii kedua pecahan tersebut (dicari KPK darii kedua penyebutnya):
:

7.    Operasi Pada Pecahan
a.     Penjumlahan
Penjumlahan antara dua pecahan atau lebih dilakukan dengaan menggunakan KPK darii kedua atau lebih penyebutmya.
1)    Jika penyebutnya sama :
dengaan syarat apabila
2)    Jika penyebutnya tidak sama :
Bisa juga secara langsung yaitu
Syarat b dan d ≠ 0
(penyelesaian dengaan cara KPK dan secara langsung didapatt hasil yangg sama)
b. Pengurangan
1)    Jika penyebutnya sama :
dengaan syarat apabila b ≠ 0


2)    Jika penyebutnya tidak sama :
Syarat b dan
c.     Perkalian
Perkalian antara dua pecahan atau lebih dilakukan dengaan mengalikan pembilang dengaan pembilang dan penyebut dengaan penyebut.
dengaan syarat  dan
Contoh :
d.     Pembagian
Pembagian bisa disebut sebagai perkalian dengaan kebalikan darii pembaginya
e.     Pemangkatan
          sebanyak n faktor
dengaan syarat
Contoh :
BILANGAN RASIONAL

Bilangan rasional merupakan bilangan yangg dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat a dan b, ditulis a/b dengaan syarat b ≠ 0. Bilangan rasional terdiri darii :
1.     Bilangan asli
2.     Bilangan cacah
3.     Bilangan bulat
Bilangan bulat dibagi menjadi tiga bagian yaitu : bilangan bulat negatif, bilangan bulat positif, bilangan bulat nol.
Bilangan-bilangan rasional  disebut bilangan-bilangan rasional pecahan biasa atau sering disebut pecahan biasa
Bilangan-bilangan rasional
 disebut bilangan-bilangan rasional pecahan sempurna atau sering disebut pecahan campuran.
Bilangan rasional dapatt juga ditulis sebagai decimal dengaan deret angka yangg berulang teratur.
Kita dapatt memperhatikan beberapa contoh berikut :








Contoh :
Bilangan bulat 2 merupakan bilangan rasional, karena bilangan 2 dapatt dinyatakan menjadi   , dan sebagainya.




Operasi pada Bilangan Rasional
1.    Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional
Contoh :
KPK darii 10 dan 25 ialah 50, sehingga kita dapattkan :
Sifat-Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional
a.     Operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional bersifat tertutup. Untukk setiap ialah sebarang bilangan rasional, maka dan  juga merupakan bilangan rasional.
b.     Operasi penjumlahan bilangan rasional bersifat komutatif. Untukk setiap  ialah sebarang bilangan rasional, maka
c.     Operasi penjumlahan bilangan rasional bersifat assosiatif. Jika ialah bilangan rasional, maka
d.     Memiliki unsur identitas. Untukk setiap sebarang bilangan rasional   maka berlaku
e.     Setiap bilangan sebarang bilangan rasional  memiliki invers sehingga
=0

2.    Operasi Perkalian Bilangan Rasional
Contoh:

Sifat-Sifat Operasi Perkalian Bilangan Rasional
a.     Operasi perkalian bilangan rasional bersifat tertutup. Untukk setiap ialah sebarang bilangan rasional, maka juga merupakan bilangan rasional.
b.     Operasi perkalian bilangan rasional bersifat komutatif. Untukk setiap  ialah sebarang bilangan rasional, maka
c.     Operasi perkalian bilangan rasional bersifat assosiatif. Jika ialah bilangan rasional, maka
d.     Memiliki unsur identitas. Untukk setiap sebarang bilangan rasional   maka berlaku
e.     Setiap bilangan sebarang bilangan rasional  memiliki invers sehingga
=1
f.      Bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan. Untukk
Setiap  ialah bilangan rasional, maka:
 dan

3.    Operasi Pembagian Bilangan Rasional
Untukk  ialah sebarang bilangan rasional dengaan  maka hasil bagi
darii  ialah bilangan rasional  sedemikian sehingga
Sifat:
Jika  ialah sebarang bilangan rasional dengaan  maka
Contoh :.
Tentukan hasil darii:
Penyelesaian:
Kelompok 1 Kapsel
1.    Agus Ahmad Duri
2.    Nasifah
3.    Nurul Khilda
Matematika C/4

BILANGAN BULAT

f.      Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat ialah bilangan bukan pecahan yangg terdiri darii bilangan :
·       Bulat positif
·       Nol :
·       Bulat Negatif
Himpunan Bilangan bulat
A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Garis bilangan bulat :


 


 
     Bilangan bulat negatif                                      Bilangan bulat positif
                                                  Bilangan nol
Di dalaam bilangan bulat terdapatt bilangan genap dan ganjil :
·       Bilangan bulat genap
Bilangan yangg habis dibagi dengaan
·       Bilangan bulat ganjil
Bilangan yangg apabila dibagi  tersisa  atau

g.     Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat
·       Penjumlahan dan Sifat-sifatnya
6.     Sifat Asosiatif
Contoh :
7.     Sifat Komutatif
Contoh :
8.     Unsur Identitas terhadap penjumlahan
Bilangan Nol  disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan
Contoh :
9.     Unsur invers terhadap penjumlahan
Invers jumlah (lawan) darii  ialah
Invers jumlah (lawan) darii  ialah
contoh :
10. Bersifat tertutup
Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya ialah bilangan bulat juga.
 dan  bilangan bulat maka  bilangan bulat
contoh :
 bilangan bulat

·       Pengurangan dan Sifat-sifatnya
5.     Untukk sembarang bilangan bulat berlaku :
contoh:
6.     Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
Contoh :
7.     Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
8.     Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya ialah bilangan bulat juga:
 dan  bilangan bulat maka  bilangan bulat
contoh :
 bilangan bulat

·       Perkalian dan Sifat-sifatnya
7.      hasil perkalian dua bilangan bulat positif ialah bilangan bulat positif
Contoh:
 hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya ialah
                                bilangan bulat negatif
Contoh :
 hasil perkalian dua bilangan negatif ialah bilangan bulat              
                                  positif
Contoh :
8.     Sifat Asosiatif
Contoh:
9.     Sifat komutatif
Contoh :
10. Sifat distributif
Contoh :
11. Unsur identitas untukk perkalian
- hasil perkalian bilangan bulat dengaan nol hasilnya ialah bilangan nol
- hasil perkalian bilangan bulat dengaan 1 hasilnya ialah bilangan bulat itu juga
12. Bersifat tertutup
Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya ialah bilangan bulat juga
 bilangan bulat

·       Pembagian dan Sifat-sifatnya
7.     Hasil bagi dua bilangan bulat positif ialah bilangan positif
Contoh :
8.     Hasil bagi dua bilangan bulat negatif ialah bilangan positif
Contoh :
9.     Hasil bagi dua bilangan bulat yangg berbeda ialah bilangan negatif
Contoh :
              
10. Hasil bagi bilangan bulat dengaan  ialah tidak terdefinisi
Contoh : 
11. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
Contoh :
12. Bersifat tidak tertutup
Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga
Contoh :  bilangan bulat
bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)


·       Pemangkatan bilangan bulat

            Sejumlah  faktor
Contoh :
              

·       Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga bilangan bulat
3.    Akar kuadrat (akar pangkat dua)
Contoh :      
                     
  
Tabel :
4.    Akar kubik (akar pangkat tiga)
Contoh :      
Tabel :


BILANGAN PECAHAN

8.    Pengertian Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan ialah bilangan yangg disajikan/ditampilkan dalaam bentuk ;
 
 disebut pembilang dan  disebut penyebut
contoh:
Dua buah mangga dibagikan seorang ibu kepada 3 orang anaknya. Berapa bagian yangg didapattkan oleh setiap anaknya ?
jawab:
masing-masing anaknya memperoleh  bagian.

9.    Bentuk dan Jenis Pecahan
f.      Pecahan biasa
Contoh: 
g.     Pecahan campuran
Contoh:
h.     Pecahan desimal
Contoh:
i.       Persen (perseratus)
Contoh:
j.       Permil (perseribu)
Contoh:

10. Pecahan Senilai
Apabila pembilang dan penyebut dikali atau dibagi dengaan bilangan yangg sama
Contoh:

11. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Lain
h.     Merubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran
(dapatt dilakukan apabila pembilang lebih besar darii penyebut)
i.       Merubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa
j.       Merubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal
 

penyebutnya dijadikan  
pembilangnya juga dikalikan
k.     Merubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa
 

cari FPB darii 5 dan 10 didapattkan 5
l.       Merubah pecahan desimal menjadi pecahan campuran
 

cari FPB darii 45 dan 100 didapattkan 5
m.   Merubah pecahan biasa ke dalaam bentuk persen dan permil



n.     Merubah persen dan permil ke dalaam bentuk pecahan biasa
 

3)    20 ialah FPB darii 20 dan 100
4)    Kalau pembilang bisa dibagi oleh penyebut atau sebaliknya gunakan angka tersebut (contoh di atas)
 

3)    10 ialah FPB darii 30 dan 100
4)    2 contoh di atas pembilang tidak bisa dibagi oleh penyebut.

12. Menyederhanakan Pecahan
Bentuk pecahan dapatt disederhanakan dengaan cara membagi pembilang dan penyebut dengaan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).

13. Membandingkan Dua Pecahan
Hubungan antara dua pecahan dapatt ditentukan dengaan menyamakan penyebut darii kedua pecahan tersebut (dicari KPK darii kedua penyebutnya):
:

14. Operasi Pada Pecahan
b.     Penjumlahan
Penjumlahan antara dua pecahan atau lebih dilakukan dengaan menggunakan KPK darii kedua atau lebih penyebutmya.
3)    Jika penyebutnya sama :
dengaan syarat apabila
4)    Jika penyebutnya tidak sama :
Bisa juga secara langsung yaitu
Syarat b dan d ≠ 0
(penyelesaian dengaan cara KPK dan secara langsung didapatt hasil yangg sama)
b. Pengurangan
3)    Jika penyebutnya sama :
dengaan syarat apabila b ≠ 0


4)    Jika penyebutnya tidak sama :
Syarat b dan
h.     Perkalian
Perkalian antara dua pecahan atau lebih dilakukan dengaan mengalikan pembilang dengaan pembilang dan penyebut dengaan penyebut.
dengaan syarat  dan
Contoh :
i.       Pembagian
Pembagian bisa disebut sebagai perkalian dengaan kebalikan darii pembaginya
j.       Pemangkatan
          sebanyak n faktor
dengaan syarat
Contoh :
BILANGAN RASIONAL

Bilangan rasional merupakan bilangan yangg dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat a dan b, ditulis a/b dengaan syarat b ≠ 0. Bilangan rasional terdiri darii :
4.     Bilangan asli
5.     Bilangan cacah
6.     Bilangan bulat
Bilangan bulat dibagi menjadi tiga bagian yaitu : bilangan bulat negatif, bilangan bulat positif, bilangan bulat nol.
Bilangan-bilangan rasional  disebut bilangan-bilangan rasional pecahan biasa atau sering disebut pecahan biasa
Bilangan-bilangan rasional
 disebut bilangan-bilangan rasional pecahan sempurna atau sering disebut pecahan campuran.
Bilangan rasional dapatt juga ditulis sebagai decimal dengaan deret angka yangg berulang teratur.
Kita dapatt memperhatikan beberapa contoh berikut :








Contoh :
Bilangan bulat 2 merupakan bilangan rasional, karena bilangan 2 dapatt dinyatakan menjadi   , dan sebagainya.




Operasi pada Bilangan Rasional
4.    Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional
Contoh :
KPK darii 10 dan 25 ialah 50, sehingga kita dapattkan :
Sifat-Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional
f.      Operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional bersifat tertutup. Untukk setiap ialah sebarang bilangan rasional, maka dan  juga merupakan bilangan rasional.
g.     Operasi penjumlahan bilangan rasional bersifat komutatif. Untukk setiap  ialah sebarang bilangan rasional, maka
h.     Operasi penjumlahan bilangan rasional bersifat assosiatif. Jika ialah bilangan rasional, maka
i.       Memiliki unsur identitas. Untukk setiap sebarang bilangan rasional   maka berlaku
j.       Setiap bilangan sebarang bilangan rasional  memiliki invers sehingga
=0

5.    Operasi Perkalian Bilangan Rasional
Contoh:

Sifat-Sifat Operasi Perkalian Bilangan Rasional
g.     Operasi perkalian bilangan rasional bersifat tertutup. Untukk setiap ialah sebarang bilangan rasional, maka juga merupakan bilangan rasional.
h.     Operasi perkalian bilangan rasional bersifat komutatif. Untukk setiap  ialah sebarang bilangan rasional, maka
i.       Operasi perkalian bilangan rasional bersifat assosiatif. Jika ialah bilangan rasional, maka
j.       Memiliki unsur identitas. Untukk setiap sebarang bilangan rasional   maka berlaku
k.     Setiap bilangan sebarang bilangan rasional  memiliki invers sehingga
=1
l.       Bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan. Untukk
Setiap  ialah bilangan rasional, maka:
 dan

6.    Operasi Pembagian Bilangan Rasional
Untukk  ialah sebarang bilangan rasional dengaan  maka hasil bagi
darii  ialah bilangan rasional  sedemikian sehingga
Sifat:
Jika  ialah sebarang bilangan rasional dengaan  maka
Contoh :.
Tentukan hasil darii:
Penyelesaian:

Visitor